专题3.1 椭圆-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆 1.椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆； (2)若a＝c，则点P的轨迹为线段； (3)若a＜c，则点P的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 极速秒杀法-------椭圆经典结论 [结论1]：椭圆焦点三角形周长：； [结论2]：焦点三角形离心率：；； [结论3]：焦点三角形之夹角：； [结论4]：中点弦斜率：则 [结论5]：椭圆上任意不与x轴垂直弦AB中点M，O为原点，则 ； [结论6]：椭圆上两关于原点对称点为A，B，任意点为P，则 ； [结论8]：焦半径： 则 [结论9]：焦半径之比：（焦点在x轴）；（焦点在y轴）; [结论10]：焦半径之比求离心率取值范围：； [结论11]：仿射变换求斜率：； 题型一 椭圆的定义与标准方程 考点一 椭圆的定义与标准方程 求椭圆的方程有两种方法： （1）定义法，根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为或；③找关系，根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． （3）椭圆第二定义：点到定点的距离与到定直线距离为常数，常数大于0且小于1（定点为椭圆焦点。定直线为对应边上的准线，即到左焦点对应左准线） 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为． 例题1 给出以下命题： ①曲线表示椭圆，则； ②命题“若，则”的否命题为：“若，则”； ③函数的最小值是2； ④中，，，．D是斜边AC上的点，．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是； 则正确命题的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于①，曲线表示椭圆，所以，即或，故①错误； 对于②，命题“若，则”的否命题为：“若，则”；故②错误； 对于③，令，所以函数等价于，又函数在上单调递增，所以，即函数的最小值是；故③错误； 对于④，在中，，，．D是斜边AC上的点，，则． 以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；故④错误. 故选：A. 例题2．“”是“方程表示椭圆”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件 C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由，可得， 当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立； 反之：方程表示椭圆，则满足，即且， 所以不成立，即必要性不成立， 所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型二 椭圆的简单几何性质 1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． 例题1 设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的定义，， 由余弦定理有： ， 化简整理得：， 又， 由以上两式可得： 由，得，∴， 又，所以F1PQ为等边