2.2 直线的方程（一） -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.2 直线的方程（一） 知 识 题 型 类 型 直线的五种方程 根据条件求直线的方程 重点、考点 直线的截距式 重点、考点 过定点的直线 求直线所过的定点及其应用 重点、考点 直线的方向向量 根据方向向量求直线的方程 重点 一．直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 二．特殊的直线方程 已知点，则 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 三．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 考点一 根据条件求直线的方程 求分别满足下列条件的直线的方程，并且化成一般式：例1 （1）经过点，斜率； （2）经过两点，； （3）倾斜角，在轴上的截距； （4）经过点，且平行于轴； （5）经过点，且平行于轴． 【分析】（1）利用点斜式方程求解直线方程． （2）利用两点式方程求解直线方程． （3）利用斜截式方程求解直线方程． （4）利用直线方程的特殊情况求解， （4）利用直线方程的特殊情况求解． 【解答】解：（1）斜率是，经过点，的直线方程为：，整理，得； （2）经过两点，的直线方程为：，整理，得； （3）倾斜角，斜率，在轴上的截距，直线方程为：，整理得； （4）经过点，且平行于轴的直线方程为：； （5）经过点，且平行于轴的直线方程为：． 求满足下列条件的直线的方程，并画图：变1 （1）过原点，斜率为； （2）过点，； （3）过点，平行于轴； （4）过点，平行于轴； （5）斜率为5，在轴上的截距是； （6）斜率为，在轴上的截距是5． 【分析】（1）由直线方程点斜式可得解；（2）由直线方程的两点式可得解；根据直线与或轴平行的概念可解得（3）（4）；由直线方程的截距式可解得（5）（6）． 【解答】解：（1）由直线的点斜式方程可知，． （2）由直线的两点式方程可知，，化简整理得， 直线的方程为． （3）平行于轴的直线的斜率不存在， 又直线过点，直线的方程为． （4）平行于轴的直线的斜率为0， 又直线过点，直线的方程为． （5）由直线的截距式方程可知，． （6）由直线的截距式方程可知，． 画出的直线方程如图所示． 求满足下列条件的直线的方程：例2 （1）斜率为，经过点； （2）经过点，； （3）斜率为，在轴上的截距为7； （4）在轴、轴上的截距分别是，2． 【分析】（1）由点斜式方程可得所求直线方程； （2）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程； （3）由斜截式方程可得所求直线方程； （4）运用截距式方程，可得所求直线方程． 【解答】解：（1）斜率为，经过点， 可得直线方程为， 即为； （2）经过点，， 可得直线的斜率为， 可得直线方程为， 即为； （3）斜率为，在轴上的截距为7， 可得直线方程为， 即为； （4）在轴、轴上的截距分别是，2， 可得直线方程为， 即为． 下面说法正确的是（ ）变2 A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点,的直线都可以用方程表示 【答案】D 【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错； 经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错； 当时，经过点的直线可以用方程即表示， 当时，经过点的直线可以用方程，即表示， 因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对； 故选：D 考点二 直线的截距式 过点，且在轴，轴上截距相等的直线方程为　或　．例1 【分析】根据题意，分直线是否经过原点两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当要求直线经过原点时，其斜率， 则其方程为，即， 当要求直线不经过原点时，其斜率，设其方程为， 则有，解可得， 此时直线的方程为，即， 综合可得：要求直线的方程为