2.1 直线的倾斜角与斜率 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线与圆的方程 ✬2.1 直线的倾斜角与斜率 知 识 题 型 类 型 直线的倾斜角 求直线的倾斜角 重点、考点 直线的斜率 求直线的斜率 重点、考点 过定点的直线 求直线所过的定点 重点 直线的平行与垂直 直线的平行与垂直 重点、考点 一．直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二．直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 三．直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 考点一 概念辨析 下列命题中正确的是（ ）例1 A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．平行于x轴的直线的倾斜角为 D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】 对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确； 对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确； 对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确； 对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的. 故选：D 下面正确命题的个数是（ ）例2 ①若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等； ③若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，其斜率也大； ④若两条直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，其倾斜角也大． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据斜率与倾斜角的相关知识点对选项逐一判断即可. 【详解】 所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，当倾斜角为90度的时候直线的斜率不存在故①错误； 对于②，根据，结合图像可知相等，则也相等，可知②正确； 对于③④，当时，，当时，只有当直线的倾斜角属于相同的区间结论才成立，故③④错误. 因此，只有②是正确的， 故选：A 下列命题为真命题的是（ ）变1 A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．若直线的倾斜角为，则 C．若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小 D．倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度 【答案】D 【解析】 【分析】 当倾斜角时可判断A；根据倾斜角的范围可判断B；举反例可判断C；根据倾斜角的定义可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，故选项A不正确； 对于B：若直线的倾斜角为，则，故选项B不正确； 对于C：举反例，如取直线的倾斜角为为，，满足，但，故选项C不正确； 对于D：由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度，故选项D正确； 故选：D. 若两直线l1，l2的倾斜角和斜率分别为α1，α2和k1，k2，则下列四个命题中正确的是（ ）变2 A．若α1<α2，则k1<k2 B．若α1=α2，则k1=k2 C．若k1<k2，则α1<α2 D．若k1=k2，则α1=α2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据倾斜角和斜率的函数关系且，以及图象依次判断即可 【详解】 由于直线的倾斜角和斜率满足：且 且图象如下图所示 由图象可知，斜率关于倾斜角不是单调函数，故A，C错误； 令α1=α2=90°，则k1、k2不存在，故B错误； 若k1=k2，必有α1=α2，故D正确. 故选：D 考点二 直线的倾斜角 直线的倾斜角为（ ）例1 A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】 【分析】 化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】 将直线一般式方程化为斜截式方程得：， 所以直线的斜率为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为. 故选：C 直线的倾斜角为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【