第12讲 相似多边形与三角形相似的条件-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第12讲 相似多边形与三角形相似的条件 ( 目标导航 ) 课程标准 1.了解相似多边形和相似比的定义。 2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。 3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。 4.了解相似三角形的概念。 5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。 6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。 7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。 ( 知识精讲 ) 知识点01 相似多边形的定义 1．相似多边形的定义 、 的两个多边形叫做相似多边形。 2．记法 相似符号：“∽”，读作“ ”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 注意： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。 知识点02 相似多边形的性质及判定 1．相似多边形的性质 相似多边形的 、 。 2．相似多边形的判定 、 的两个多边形叫做相似多边形。 知识点03 相似三角形的概念 1．概念 三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2．符号语言 如图所示，在和中，，，，，∽。 3．相似三角形的“三性” （1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。找对应元素的方法同全等三角形。 （2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：∽，它们的相似比为；如果写成∽，那么它们的相似比是，且 （3）传递性：若∽，∽，则∽ 知识点04 相似三角形的判定定理 （一）相似三角形的判定定理1 1．定理 的两个三角形相似。 2．符号语言 已知和，若，，则∽。 3．归纳：有关三角形相似的基本图形 （二）相似三角形的判定定理2 1．定理 且 的两个三角形相似。 2．符号语言 已知和，若，，则∽。 （三）相似三角形的判定定理3 1．定理 的两个三角形相似. 2．符号语言 已知和，若，则∽。 注意： （1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。 知识点05 黄金分割的有关概念 1．定义 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2．作一条线段的黄金分割点 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB。 （2）连接AD，在DA上截取DE=DB。 （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。 注意： （1）≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值)。 （2）一条线段的黄金分割点有两个。 ( 能力拓展 ) 考法01 相似多边形性质的应用 【典例1】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（       ） A．4：1 B． C． D．2：1 【即学即练】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（       ） A． B．6 C． D．9 【典例2】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16 【即学即练】把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（　　） A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1 考法02 相似多边形的判定 【典例3】下列说法正确的是（        ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似 【即学即练】下列说法中，不正确的是（       ） A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似 【典例4】在如图所示的各组图形中，相似的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【即学即练】如图所示