13.2 等腰三角形（同步讲义）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

13.2等腰三角形 同步教材划重点 知识点01等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 知识点02等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点03等边三角形 等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 【典例分析】 【典例1】已知在中，，，是的高，分别交，于点E，F． (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)30° (2)①；②见解析 【解析】 【分析】 （1）根据垂直定义得出∠AFB=90°，求出∠ABF=90°-∠BAC=45°，再求出答案即可； （2）①根据等腰三角形的判定得出AB=AC，根据等腰三角形的性质得出AE平分∠BAC，再求出答案即可；②求出∠ABF=∠BAC=45°，根据等腰三角形的判定得出FA=FB，求出∠ADF=∠C，再根据全等三角形的判定定理得出即可． (1) ∵BF⊥AC， ∴∠AFB=90°， ∵∠BAC=45°， ∴∠ABF=90°-∠BAC=45°， ∵∠BDE=75°， ∴∠BAE=∠BDE-∠ABF=30°； (2) ①∵∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AE⊥BC， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=22.5°； ②证明：∵∠BAC=45°，BF⊥AC， ∴∠AFB=90°， ∴∠ABF=∠BAC=45°， ∴FA=FB， ∵BF⊥AC，AE⊥BC， ∴∠CFB=∠AFD=∠AEC=90°， ∴∠C+∠CAE=90°，∠ADF+∠CAE=90°， ∴∠ADF=∠C， 在△ADF和△BCF中， ， ∴△ADF≌△BCF（AAS）． 【点睛】 本题考查了垂直的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 【典例2】如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，且，，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)等边三角形，答案见解析． 【解析】 【分析】 （1）用SAS定理证明三角形全等； （2）由△BDF≌△CED得到∠BFD＝∠CDE，然后利用三角形外角的性质求得∠B＝∠1＝60°，从而判定△ABC的形状． (1) 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDF和△CED中， ∴△BDF≌△CED（SAS）； (2) △ABC是等边三角形，理由如下： 由（1）得：△BDF≌△CED， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠EDF+∠CDE， ∴∠B＝∠EDF＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，外角的性质、等边三角形的判定，做题的关键是证明△BDF≌△CED． 【跟踪训练】 1．如图，在中，，，垂足为，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 在DC上取DE＝DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD＝ED，AD＝AD．证明△ABD≌△AED（SAS）即可求解． 【详解】 解：如图，在DC上取DE＝DB，连接AE． 在△ABD和△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（SAS）． ∴AB＝AE，∠B＝∠AED． 又∵AB+BD＝DC， ∴EC＝DC﹣DE＝DC﹣BD＝(AB+BD)﹣BD＝AB＝AE， 即EC＝AE， ∴∠C＝∠CAE， ∴∠B＝∠AED＝2∠C， 又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°， ∴3∠C＝75°， ∴∠C＝25°， 故选：D