13.2 等腰三角形（分层训练）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

13.2等腰三角形 分层训练提分要义 【基础题】 1．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】 过点C作CE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质得到EA=ED，利用含30度角的直角三角形的性质求得BE=10，据此即可求解． 【详解】 解：过点C作CE⊥AB于点E， ∵CA=CD， ∴EA=ED， 在Rt△BEC中，∠ABC=60°，BC=20， ∴∠BCE=90°-60°=30°， ∴BE=BC=10， ∵BD=8， ∴EA=ED=BE-BD=2， ∴AD=2ED=4， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 2．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案． 【详解】 解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH=GH，∠FHG=60°， ∴∠AHF+∠GHC=120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°， ∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC， ∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC， ∴∠AHF=∠HGC， 在△AFH和△CHG中 ， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF=CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE=FH， ∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF， =(BD+DF+AF)+(CE+BE)， =AB+BC=10． 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 3．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．47.5° 【答案】C 【解析】 【分析】 如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题． 【详解】 解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH． ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH， ∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°， ∵AM＝CN，AB＝BC＝CH， ∴△ABM≌△CHN（SAS）， ∴BM＝HN， ∵BN+HN≥BH， ∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵△ABM≌△CHN， ∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠DBM＝15°， ∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°， ∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°， 故选：C． 【点睛】 本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．如图，，点是它内部一点，．点，分别是，上的两个动点，则周长的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，BH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GBH是等边三角形，即可求解． 【详解】 作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，BH、DE、DF如图所示： 由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，BG＝BD＝BH， ∴ED＋DF＋EF＝GE＋EF＋FH＝GH， 此时△DEF的周长最小，最小值为GH， ∵∠GBA＝∠ABD，∠DBC＝∠CBH， ∴∠GBH＝2∠ABC， ∵∠ABC＝30°， ∴∠GBH＝60°， ∴△GBH是等边三角形， ∴GH＝BD， ∵BD＝m， ∴△DEF周长的最小值为m，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若