第16讲 函数模型及其运用-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第16讲 函数模型及其运用 【基础知识全通关】 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0). (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【重点总结】 解答函数应用题的一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点研习一点通】 考点01 ：一次函数与分段函数模型 1.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________. 【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一) 【解析】 由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解． 【详解】 由题意函数是上的增函数，设，， 由，解得，所以， 所以 故答案为： 注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等． 【规律方法】 1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． 2.分段函数模型的求解策略 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【变式1-1】某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ） A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元 【答案】A 【解析】 计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票张，再以第③种方案购买张可得答案. 【详解】 由第③种方案可知，，，， ，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张： (元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)， 所以共需要(元). 故选：A. 【变式探究1-2】某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下： （1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠； （2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠； （3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠. 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元； 方案二：一次性付款购买. 若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元 A．540 B．620 C．640 D．800 【答案】C 【解析】 依题意可得，方案一：第一次付款2880元时， 因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元； 第二次付款4850元时， 因为，所以其原来的价格为元. 所以分两次购买饲料的原价为元. 方案二：若一次性付款，则应付款为：元， 所以节省元. 故选：C 【总结提升】 1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小