专题12 等式性质与不等式性质-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题12 等式性质与不等式性质 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 4．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 6．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 题型一 用不等式(组)表示不等关系 1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400 [解析]x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.[答案]　B 2．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为(　　) A.＜ B.＞ C.＜ D.＞ [解析]糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故＞. 3．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表： 效果方式种类 轮船运输量/t 飞机运输量/t 粮食 300 150 石油 250 100 现在要在一天内至少运输2 000t粮食和1 500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式． [解析]设需要安排x艘轮船和y架飞机． 则即 4．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车(　　) A．11辆　　　　B．10辆 C．9辆 D．8辆 [解析]设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得 解得，∴9＜x＜11.而x为正整数，故x＝10. 5．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解析]由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(m)． 因此菜园面积S＝x·，依题意有S≥216，即x≥216， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 6．商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ [解析]若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300. 7．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.2～1.5 m的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？ [解析]设身高为h m， 文字表述 身高不足1.2 m 身高在1.2～1.5 m间 身高超过1.5 m 符号表示 h<1.2 1.2≤h≤1.5 h>1.5 票价 免费 半价票 全价票 8．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5