3.2 基本不等式-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

3.2 基本不等式 一、基本不等式 1、给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 2、如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. 3、几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 4、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 5、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 四、基本不等式的实际应用 基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： （1）先理解题意，设出变量，设变量时一般要把要求最大值或最小值的变量定为因变量； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际意义写出正确的答案。 题型一 对基本不等式的理解 【例1】对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】选项A：当时，，，不成立，故A错误； 选项B：当时，，，不成立，故B错误； 选项C：当时，，不成立，故C错误； 选项D：由有意义，故，因此 由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立 故D正确，故选：D 【变式1-1】（多选）当a，时，下列不等关系不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：当时，显然不成立； B：当时，不成立； C：由重要不等式知：当且仅当时等号成立； D：当时，不成立. 故选：ABD 【变式1-2】（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对A：因为，，且，所以，故选项A错误； 对B：因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对C：因为，当且仅当， 即时等号成立，但，所以，故选项C正确； 对D：因为，，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，故选项D错误. 故选：BC. 【变式1-3】（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A，当时，，故A错误； 对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，由，故， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故D正确. 故选：BD 【变式1-4】（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】当时，，故A错误； 当时，，则，故B错误； 当，时，，， 相加可得，故C正确； 当，时，，故D正确. 故选：CD. 题型二 利用基本不等式求最值 【例2】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 【答案】 【解析】，当且仅当时取等号． 【变式2-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________． （2）已知，则的最大值为________． 【答案】（1）；（2）1 【解析】（1）， 当且仅当，即时，取等号． （2）因为，所以， 则, 当且仅当，即时，取等号． 故的最大值为1. 【变式2-2】已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为.故选：B 【变式2-3】若实数m，n满足，则的最大值为（ ）． A．2 B．3