专题10 集合与常用逻辑用语 章末复习-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题10 集合与常用逻辑用语章末复习 一．知识系统整合 二．规律方法 1．由集合的混合运算结果求变量 在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性． 2．集合与方程的综合 集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题． 3．与集合有关的新定义问题 (1)定义新集合要与集合定义类比解决． (2)定义新关系要与集合间关系类比解决． (3)定义新运算要与集合间的运算类比解决． 4．充分条件与必要条件的理解及判定 (1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是： ①确定条件是什么，结论是什么； ②把复杂的条件(结论)化简； ③尝试从条件推结论，从结论推条件； ④确定是什么条件． (2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性． 5．全称量词命题与存在量词命题 (1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点． 有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． (3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可． (4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题． 考点一　集合的基本概念 1．已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 [解析]由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m＝3. 2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为________． [解析]由A*B的含义可知，A*B＝{0,2,4}，故其所有元素之和为6. 3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 [解析]　①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1； ③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C. 4．若－3∈{x－2,2x2＋5x,12}，则x＝________. [解析]　由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3. ①当x－2＝－3时，x＝－1， 把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性； ②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)， 当x＝－时，集合的三个元素为－，－3,12，满足集合中元素的互异性． 由①②知x＝－. 考点二　集合间的基本关系 1．若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是(　　) A．M＝N⫋P B．M⫋N＝P C．M⫋N⫋P D．N⫋P⫋M [解析]M＝.N＝＝， P＝.∴M⫋N＝P. 2．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围． [解析]①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B. ②当a>0时，A＝.又∵B＝{x|－1<x<1}，A⊆B，∴∴a≥2. ③当a<0时，A＝.∵A⊆B，∴∴a≤－2. 综上所述，a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}． 3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是(　　) A．M＝N B．M⫋N C．N⊆M D．N⫋M [解析]　由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知M⫋N.[答案]　B 4．已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________． [解析]　∵a<1，∴2a<a＋1，∴B≠∅.画数轴如图所示． 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.即a<－2或a≥. 由已知a<1，∴a<－2或≤a<1，即所求a的取值