专题09 全称量词命题与存在量词命题的否定-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题09 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，￢p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，￢p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 3．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 题型一 全称量词命题的否定　 1．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． [解析](1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题． (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题． (3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题． 2．写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：∀x∈R，2≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. [解析]( 1) ￢p：∃x∈R，2＜0，假命题．因为∀x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命题． (2) ￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题． 因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题． (4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题． 3．已知命题p：∀x>0，x2≥2，则它的否定为(　　) A．∀x>0，x2<2 B．∀x≤0，x2<2 C．∃x≤0，x2<2 D．∃x>0，x2<2 [解析]D 4．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A．所有能被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个能被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除 [解析]全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C. 5．已知命题p：∀x>0，x＋≥2，则它的否定为(　　) A．∀x>0，x＋<2 B．∀x≤0，x＋<2 C．∃x≤0，x＋<2 D．∃x>0，x＋<2 [解析]D 题型二 存在量词命题的否定　 1．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1. [解析] (1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1. 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. [解析] (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数． (2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题， 因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0. 3．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x0∈R，x2－2x－3>0 D．∀x∈R，x2－2x－3>0 [解析]存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D. 4．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　) A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m