专题08 全称量词与存在量词-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题08 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． (3)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． (3)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 题型一 全称量词命题和存在量词命题的判断 1．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的内角和等于360°； (2)有的力的方向不定； (3)矩形的对角线不相等； (4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点． [解析](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． (3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (4)含有量词“存在”，是存在量词命题． 2．用全称量词或存在量词表示下列语句 (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． [解析] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立． (2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数． (3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立． (4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直. 3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． [解析] (1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 4．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素数的和仍是素数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． [解析] (1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题． (3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题. 5．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．自然数都是正整数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．一定存在没有最大值的二次函数 [解析]D选项是存在量词命题． 6．下列命题中，存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形； ③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]　B 7．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 [解析]　“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]　C 8．下列命题： ①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]　C 9．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 [解析]　选项A，B，D中的命