专题06 充分条件与必要条件-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题06 充分条件与必要条件 知识点一　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)当命题表示为“若p，则q”时， p是命题的条件， q是命题的结论． 知识点二 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．p⇒q的含义 (1)“若p，则q”形式的命题为真命题． (2)由条件p可以得到结论q. (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q. (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的． (5)为得到结论q，具备条件p就可以推出． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 题型一 充分、必要条件的概念理解 1．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述： (1)两个全等三角形的对应高相等； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形． [解析](1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件． 2．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述： (1)对顶角相等； (2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同． [解析] (1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件． (2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件. 3．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧． [解析] (1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 4．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是菱形 [解析]命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C. 题型二 充分条件、必要条件的判定 1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 [解析]因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2， 故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A. 2．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 [解析]当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q； 当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件，[答案]　A 3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“<”是“a<b”的必要条件 D．“a2<b2”是“a<b”的充分条件 [解析]　因为a＝b⇒ac＝bc，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．[答案]　B 4．下列命题中，是真命题的是(　　) A．“x2>0”是“x>0”的充分条件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件 C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件 D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件 [解析]　A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0