专题05 补集及集合运算的综合应用-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题05 补集及集合运算的综合应用 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3．性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A. 题型一 补集的运算 1．设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁UA＝________________. [解析]用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2或x>5}． 2．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________； [解析]将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 3．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁UA＝________. [解析]∁UA＝{x|5≤x<10}，如图所示． [答案]　{x|5≤x<10} 4．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝________________. [解析]　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}． [答案]　{x|x＝－3或x>4} 5．设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}， 则∁UA＝___，∁UB＝________. [解析]　解法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 解法二：可用Venn图表示． 则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 6．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________. [解析]解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}． 题型二 集合交、并、补集的综合运算 1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为________． [解析]　由U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，得∁UA＝{0,4}，因为B＝{2,4}， 所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}． 2．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　) A．{1,2,7,8} B．{4,5,6} C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6} [解析]　∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．[答案]　C 3．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} [解析]　由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．[答案]　C 4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1} [解析]　∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D. 5．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} [解析]　∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．[答案]　D 6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合(A∪B)中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}