专题03 集合间的基本关系-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题03 集合间的基本关系 1．Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 因此，A⊆B可用Venn图表示为 2．子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． (3)子集有下列两个性质： ①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； ②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 3．集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 很明显，若两个集合相等，则它们的元素完全相同；若集合A与B中有不相同的元素，则这两个集合不相等，可记为A≠B. 4．真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)， 记作A⫋B(或BA)． 从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明A⊆B(即A中的任何元素都属于B)，二是证明A≠B(即B中的元素不是都属于A，或者说B中至少有一个元素不属于A)． 5．空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： (1)空集只有一个子集，即它本身；(2)空集是任何非空集合的真子集． 6．集合子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n个； ②A的真子集的个数为2n－1个； ③A的非空真子集的个数为2n－2个． 7．0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅⫋{0} ∅⫋{∅}或 ∅∈{∅} 题型一 集合间关系的判断 1．判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． [解析](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 2．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解析] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⫋B. (4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”， 而集合N不含元素“1”，故N⫋M. 解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N⫋M. 3．判断下列集合间的关系： (1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}； (2)A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝. [解析] (1)因为A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝， 所以利用数轴判断A，B的关系．如图所示，A⫋B. (2)因为A＝{x∈Z|－1≤x＜3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0,1,2}，所以B⫋A. (3)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，在B中，当n为奇数时x＝＝0， 当n为偶数时，x＝＝1，所以B＝{0,1}，所以A＝B. 4．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，