专题02 集合的表示-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题02 集合的表示 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 3．有限集、无限集 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集． 当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合． 对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示． 题型一 用列举法表示集合 1．用列举法表示下列集合： (1)方程x(x－1)2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集； (3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合． [解析] (1)方程x(x－1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}． (2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}． (3)由，解得故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}． 2．用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合； (3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合． [解析] (1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市，故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}． (2)绝对值小于3的整数有－2，－1,0,1,2，故绝对值小于3的整数集合为{－2，－1,0,1,2}． (3)由解得 故一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合为. 3．　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. [解析] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝. (4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}． 4．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N. [解析] (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}． (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}． (3)解得∴B＝{(3,2)}． (4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}． 5．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　) A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} [解析]　∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B. 6．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　) A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2,1)} D．{(1，－2)} [解析]　由得∴交点为(1，－2)，故选D. 7．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________． [解析]　当t＝－2时，x＝4；当t＝2时，x＝4；当t＝3时，x＝9；当t＝4时，x＝16；∴B＝{4,9,16}． 8．方程组的解集是(　　) A．(－5,4) B．(5，－4) C．{(－5,4)} D．{(5，－4)} [解析]　解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D. 9．若A＝{－2,0,2,3}，B＝{