第07讲 指数与对数-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

第07讲 指数与对数 【知识梳理】 知识点一：指数 1．n次实数方根 如果一个实数x满足xn＝a，那么称x为a的n次实数方根，其中n＞1且n∈N*. 2．n次实数方根的性质 (1)当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，用符号表示． (2)当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负n次实数方根用符号－表示．它们可合并写成± (a＞0)． (3)0的n次实数方根等于0，记作 ＝0. 3．根式的定义 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．两个等式 (1)n∈N*，n≥2，()n＝a. (2)n为奇数时，＝a，n为偶数时，＝|a|. 5．分数指数幂的意义 一般地，我们规定＝(a>0，m，n均为正整数)；＝ (a>0，m，n均为正整数). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 6．有理数指数幂的运算性质 (1)as·at＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt. 其中a，b，s，t的取值范围是a＞0，b＞0，s，t∈Q. 知识点二：对数 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为lg_N. 在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N. 3．对数与指数的关系 若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)零和负数无对数，即真数N＞0. (2)底的对数为1,1的对数为0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)． 知识点三：对数运算 1．对数的运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N>0，n∈R，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM. 2．换底公式：若a＞0且a≠1，N＞0，c＞0且c≠1，则logaN＝. 【典型例题】 考点一：根式的运算 1. 的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】 ． 故选：A 2. 化简(其中，)的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得. 【详解】 因，，所以. 故选：C 3. 有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用公式进行求解. 【详解】 ① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 4. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意列方程组，求解，然后代入计算即可得答案. 【详解】 ∵，，且， ∴， ∴ 故答案为： 5. 若有意义，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据根式、幂的定义判断． 【详解】 由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 6. 若有意义，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】 由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是． 故选：C. 7. 化简下列各式（，，，）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或；（7）或；（8）. 【解析】 【分析】 （1）（2）（3）用同底数幂相乘的法则计算；（4）（5）用幂的乘法的法则计算；（6）（7）用积的乘方的法则计算；（8）用积的乘方与同底数幂的除法法则计算. 【详解】 （1）；（2）；（3）（4）；（5）； （6）； （7）； （8）. 8. 已知实数满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算求解. 【详解】 设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 考点二：条件求值问题 9. 已知（），则的值等于（       ）