【新课】专题08 圆与圆的位置关系-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3.相交弦及圆系方程问题的解决 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 【典型例题】 考点一：圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的公切线的条数为(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查圆与圆的位置关系及两圆的公切线的条数，属于基础题． 由两圆的圆心距和半径的关系判断可得两圆外切，则两圆的公切线有条． 【解答】 解：圆的圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， ， 两圆外切， 则两圆的公切线有条． 故选B．    2. 已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有    (    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】 C  【解析】 【分析】 本题考查圆与圆的位置关系及两圆公切线条数的确定，同时考查圆的标准方程，属于中档题． 两圆方程化为标准形式，得圆心和半径，通过比较圆心距的大小判断两圆的位置关系即可求解． 【解答】 解：圆 ：  ，圆心为 ，半径为 ； 圆 ：  可变为 ， 圆心为 ，半径为 ； 所以 ， ， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 两圆相交， 所以与两圆都相切的直线有条． 3. 已知圆，圆，，分别是圆和圆上的动点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】 【分析】 本题考查了圆与圆的位置关系和最值问题，是基础题． 求出两圆的圆心距，确定两圆的关系，再求圆、上的两点间的距离最大值． 【解答】 解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为，两圆外离， 圆和圆上的两点的最大值为． 故选A．   考点二：公共弦 4. 已知点在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 A  【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，求两圆的公共弦方程，属于中档题． 两圆作差解得公共弦方程，将点，代入解得，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】 解：根据题意将两圆方程作差得， 即为两圆的公共弦所在的直线方程， 又因为点在公共弦上， 所以，即， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 故选A． 5. 以圆和圆的公共弦为直径的圆的方程为          ． 【答案】   【解析】 【分析】 本题考查两圆相交弦的问题和圆的标准方程，属中档题． 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程，由解得两个圆的交点，设，所求圆以为直径，则所求圆的圆心是的中点，所求圆的半径为，故可得所求圆的方程． 【解答】 解：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为． 由解得 不妨设． 所求圆以为直径， 所求圆的圆心是的中点， 所求圆的半径为， 所求圆的方程为． 故答案为． 6. 点在圆上，点在圆上，则(    ) A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】 BC  【解析】 【分析】 本题考查了圆与圆的位置关系及判定，是基础题． 首先求出圆心坐标和圆心距，即可求出的最大值和最小值，得出两圆的圆心所在的直线的斜率和判断两圆的位置状态可得选项． 【解答】 解：由已知圆心，半径为， 圆标准方程为，圆心，半径为， 则， ，故A错