专题1.2 矩形的性质与判定【九大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题1.2 矩形的性质与判定【九大题型】 【北师大版】 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 1 【题型2 由矩形的性质求角的度数】 5 【题型3 由矩形的性质求面积】 8 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 11 【题型5 矩形判定的条件】 17 【题型6 证明四边形是矩形】 20 【题型7 矩形中多结论问题】 25 【题型8 矩形的判定与性质综合】 32 【题型9 直角三角形斜边的中线】 37 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，CE＝OE，则DE的长为（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OD＝OC，求出OD＝CD＝OD，根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠DCA＝60°，求出∠DAC＝90°﹣∠DCA＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得出DEAD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OC， ∵DE⊥AC，CE＝OE， ∴OD＝CD， 即OD＝OC＝CD， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠DCA＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠DCA＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEA＝90°， ∴DEAD， ∵AD＝4， ∴DE＝2， 故选：C 【变式1-1】（2022春•开州区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD＝2，DF＝2，则AF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，ODBD，再根据DF垂直平分OC，得DC＝OD，分别在Rt△DCF，Rt△DCB中，利用勾股定理求出CF、BC的长，从而求出BF，在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形． ∴AB＝CD，ODBD． ∵DF垂直平分OC． ∴CD＝OD． ∴AB＝CD． 在Rt△BCD中， BC3． 在Rt△DCF中， CF1． ∴BF＝BC﹣CF＝3﹣1＝2． 在Rt△ABF中， AF． 故选：C． 【变式1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．22 【分析】连接AC，OE，根据矩形的性质可得AC＝4，由∠AEO＝75°，可得∠EAO＝30°，进而利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC，OE， 在矩形ABCD中， ∵O是BD的中点， ∴OA＝OB， ∵AE＝OB＝2． ∴AE＝OA＝2． ∴AC＝4， ∵∠AEO＝75°， ∴∠EAO＝30°， ∴CDAC＝2， ∴ADCD＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝22． 故选：D． 【变式1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为　　． 【分析】在BC上截取BN，使BN＝BE，过点G作GH⊥EF于点H，证明△NFC≌△FED（AAS），推出ED＝FC＝2，CN＝DF＝1，设BN＝BE＝x，作GQ⊥BE于Q，GP⊥BC于P．利用勾股定理构建方程求出x，再证明，即可解决问题． 【解答】解：在BC上截取BN，使BN＝BE，过点G作GH⊥EF于点H， ∵BF平分∠EBC， ∴∠EBF＝∠CBF， 又∵BE＝BN，BF＝BF， ∴△BEF≌△BNF（SAS）， ∴EF＝NF，∠EFB＝∠NFB＝45°， ∴∠EFN＝90°， ∴∠EFD+∠NFC＝90°， 又∵∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠NFC＝∠FED， 又∵∠D＝∠NCF＝90°， ∴△NFC≌△FED（AAS）， ∴ED＝FC＝2， 在Rt△FED中，DF＝1， ∴EF， 在Rt△EDC中，EC， 设BN＝BE＝x，作GQ⊥BE于Q，GP⊥BC于P． 在Rt△ABE中，∵AB2+AE2＝BE2， ∴32+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝5， ∵BG平