2.4 圆的方程 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 课程标准 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 直观想象 数学运算 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 注：（1）圆的方程的推导： 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 【即学即练1】圆心在x轴上，半径为5，且过点的圆的方程是________________． 【解析】设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． 【即学即练2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 【解析】∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 【即学即练3】以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________． 【解析】∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心， |AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 【即学即练4】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 【解析】.由得，由得， ，，以为直径的圆的圆心是，半径， 知识点2 点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内． (2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断： (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内． 【即学即练5】已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________． 【解析】由题意，得2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 【即学即练6】已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________． 【解析】由题意知 即解得0≤a<1. 答案　[0,1) 知识点3 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(