专题04 根的判别式和根与系数的关系（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专项突破-根的判别式和根与系数的关系 ◎突破一：根的判别式 【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 专训1．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）关于x的一元二次方程的根的存在情况是（       ） A．此方程有两个不等实数根 B．此方程有两个相等实数根 C．此方程没有实数根 D．此方程只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】 解： 根据负数没有平方根可得此方程没有实数根， 或化为一般形式， 则此方程没有实数根， 故选C 【点睛】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 专训2．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 求出b2-4ac，再判断其正负，即可得出答案． 【详解】 b2-4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4＞0，即b2-4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握b2-4ac的大小与一元二次方程的根的关系是解题的关键．即当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根． 专训3．（2022·陕西汉中·九年级期末）一元二次方程根的情况是（       ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】 先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解：方程化为一般式为：x2−2x−1＝0， ∵Δ＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 专训4．（北京市延庆区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值； (2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意，利用判别式即可求解． （2）利用因式分解变形得，可得方程的解，再根据方程有一个根小于0即可求解． （1）解：依题意，得： ，∵方程有两个相等的实数根，∴，∴． （2）解：解得， ，∵方程有一个根小于0，∴，∴． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点． 专训5．（2022·湖南长沙·八年级期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 【答案】(1) (2)18 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1•x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值． （1）解：关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：，的取值范围为． （2）解：，是关于的一元二次方程的两个解，，，，时，的最大值为． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值． 专训6．（2022·江西吉安·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若m，n是方程的两根，且，求k的值； 【答案】(1)且 (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意可知b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，且k≠0，求出k的取值范围即可； （2）先用含k的代数式表示mn和m+n，再将整理得，代入计算即可．