专题02 一元二次方程的解法（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题02 一元二次方程的解法 【思维导图】 ◎题型1：直接开平方法 技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（       ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1 C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0 【答案】B 【解析】 【分析】 先移项，再两边开平方即可． 【详解】 解：∵x2-1=0， ∴x2=1， ∴x=±1， 即x1=-1，x2=1． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程的解是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先移项，再两边开平方可得解． 【详解】 解：由原方程可得：x2=1， 两边开平方可得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． 变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直接开平方法求解可得． 【详解】 解：∵，且方程可以用直接开平方法求解， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（       ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【详解】 解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】 此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． ◎题型2：配方法 技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋ 例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（     ） A．(x＋2)2＝5 B．(x－2) 2＝5 C．(x－2) 2＝3 D．(x＋2) 2＝3 【答案】D 【解析】 【分析】 移项后两边配上一次项系数一半的平方可得． 【详解】 解：∵x2+4x+1=0， ∴x2+4x=-1， ∴x2+4x+4=-1+4，即（x+2）2=3， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程，原方程可变形为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可． 【详解】 解∶ ，变形得， 配方得，即． 故选∶B． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程，配方后得到的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方． 【详解】 解：把方程x2＝4x＋1移项，得：x2−4x＝1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4， 配方得（x−2）2＝5， 故选：B． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） A B C D 两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【解析】 【分析】 A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；