12.3.1 角的平分线的性质（第一课时）（教学课件，含动画演示）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

12.3 角的平分线的性质 12.3.1 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 人教版 八年级上册 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 学习目标 1.角平分线的概念 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. ∵ ∠1=∠2 ∴ BD是∠ABC的平分线 2.通过折纸的方法做一个角的平分线 针对练习 下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？ 其中AB=AD，BC=DC. 则：AE为∠α的角平分线. 你能用学过的知识说明为什么吗？ 证明：在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC 即 AE是∠α的角平分线 尺规作图---作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： 1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. 2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C. 3.画射线OC. 则：射线OC即为所求. 尺规作图---作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线? 证明：在△OMC与△ONC中， ∴△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC是∠AOB的角平分线 在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 数量关系：PD=PE 在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 数量关系：PD=PE 【猜想】角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 已知:_________________________________ 求证:_________________________________ 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个点到这个角两边的距离相等 一个点在一个角的平分线上 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. 转化成具体问题为 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO (AAS) ∴PD=PE 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ※角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 例1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF. 证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵ D是BC的中点， ∴BD=CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL)， ∴BE=CF. 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. 例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长? 解:能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长. 即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点. ∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB ∴DC=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE ∴AC=BC，∴AE=BC ∴ C△BDE =BD+DE+BE=BD+DC+BE =BC+BE=AE+BE=AB. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E， 且PE=3，求AD与