专题07 截长补短证全等-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题07 截长补短证全等 1．如图，∠A＝2∠C，，平分，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 在BC上截取BE＝AB，利用“边角边”证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应边相等可得DE＝AD，由全等三角形对应角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，等量代换得到EC＝AD，则BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD长． 【详解】 解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△BED中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴DE＝AD，∠BED＝∠A， 又∵∠A＝2∠C， ∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴EC＝AD， ∴BC＝BE+EC＝AB+AD， ∵BC＝10，AB＝6， ∴AD＝10﹣6＝4； 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键． 2．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论. 【详解】 证明：如图，在上截取 平分 平分 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键. 3．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证． 【详解】 证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】 证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 5．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】 在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了． 【详解】 证明:在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．         在 和                                 AC平分∠BAD 在 和中 【点睛】 本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明． 6．如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、