专题06 倍长中线证全等-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题06 倍长中线证全等 1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 延长AD到E，使DE=AD，证明，从而求AD的取值范围． 【详解】 延长AD到E，使，连接， ∵AD是BC边上的中线， ∴                   即， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理地作辅助线是解题的关键． 2．已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（   ） A．11 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【解析】 【分析】 延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】 解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE． ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB=4． 在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4 AE-CE＜AC＜AE+CE， 即6-4＜AC＜6+4， ∴2＜AC＜10． ∴AC的长可以是9 故选：D． 【点睛】 此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 3．如图，在中，、分别是上两点，且，求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF，证明，从而可得AD=EF，同理可得AB=CF，延长AE交CF于点G，在中，根据三角形三边关系可得到，在中，，继而通过推导即可得出答案. 【详解】 如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF， ，，， ， ， 同理可证：， 延长AE交CF于点G， 在中，，即，① 在中，，② ①+②得，， 即， . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键. 4．如图，在和中，，，、分别为、的中点，且，求证：≌．         【答案】详见解析 【解析】 【分析】 分别延长、到，，使得，，连接、， 易证≌，≌，可得到，． 易证≌，可得．再证明≌．可得，，即可证得≌. 【详解】 解：如图，分别延长、到，，使得，， 连接、，              在△ACD与△EDB中 ∴△ACD≌△EDB（SAS） 同理可证, ∴AC=EB，; 在△ABE与中， ∴△ABE（SSS） ∴， ∴, ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，, ∴； 在△ABC与中 ∴△ABC（SAS） 【点睛】 本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键. 5．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 可延长AM到D，使MD=AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB=CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之． 【详解】 证明：延长AM到D，使MD=AM，连CD， ∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM， 又AM=DM，∠AMB=∠CMD， ∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD， 在△ACD中，则AD>AB-AC， 即2AM>AB-AC ， AM>（AB-AC）． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，应熟练掌握． 6．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】 试题分析：首先根据题意延长至点，使，连结，根据三角形中线的性质得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根据全等三角形的性质得到 利用外角性质及等式的性质得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的对应边相等得到，由，等量代换即可得证. 试题解析： 证明：延长至点，使，连结， ∵是的中线， ∴≌（SAS）， 是的中线， 又， ∴≌（SAS）， 即 7．阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：” 张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思