专题05 与角平分线有关的内角和问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题05 与角平分线有关的内角和问题 1．如图，△ABC中，∠A=40°， (1)若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数； (2)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数； (3)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数； (4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果) 【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=β+90°；(2)中∠P=90°-β；(3)中∠P=β． 【解析】 【分析】 （1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB的度数，根据点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，可知的度数，再次利用三角形内角和定理即可得出∠P度数； （2）由三角形的外角和定理可以得到∠DBC与∠BCE关于∠A的关系，再利用三角形内角和定理即可求出答案； （3）由三角形的外角和定理和角平分线的定义可以得到∠P=，即可得出答案； （4）由（1）（2）（3）证明过程，容易得到答案. 【详解】 (1)∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=140°， ∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°， ∴∠BPC=180°-70°=110°； (2)∵∠DBC=∠A+∠ACB， ∵P为△ABC两外角平分线的交点， ∴∠DBC=∠A+∠ACB， 同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC， ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°， ∴(∠ACB+∠ABC)=90°-∠A， ∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∠A， ∴∠BPC=90°-∠A=70°； (3)∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点 ∴ ∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC ∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC ∴ (4)若在(1)中；在(2)中，同理得；在(3)中同理可得∠P=β． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角和定理和角平分线的定义，能够综合运用定理与定义进行倒角证明是解答本题的关键. 2．（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． ①如果∠A=80°，求∠BPC的度数； ②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ； ③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 【答案】（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°． 【解析】 【分析】 （1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题； ②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可； ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可． 【详解】 解：（1）①∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°， ②∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵GH∥BC， ∴∠GPB =∠CBP， ∴∠ABP=∠GPB， ∴BG=GP， 同理，CH=PH， GH=BG+HC， △AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC， △ABC的周长为15，BC=5， 15-5=10， ∴△AGH的周长为10； 故答案为：10， ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴PD=PR，PD=PF， ∵∠ABC=60°， ∴∠PBD=30° ∵BP=3，