专题04 与平行线有关的内角和问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题04 与平行线有关的内角和问题 1．已知，在四边形ABCD中，．          （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解 【解析】 【分析】 （1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解； （2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF； （3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF． 【详解】 （1）证明：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°； （2）DE⊥BF 延长DE交BF于点G ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵∠ABC+∠MBC=180° ∴∠ADC=∠MBC ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC ∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC ∴∠EDC=∠EBG ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG ∴∠EGB=∠C=90° ∴DE⊥BF （3）DE∥BF 连接BD ∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC ∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC ∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC ∴∠MBC+∠NDC=180° ∴∠EDC+∠FBC=90° ∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90° ∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180° ∴DE∥BF． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 2．嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究 发现 （1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF=　　　　°； （2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED=　　　　°； 拓展 （3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系　　　　，此时∠AED=　　　　°； 探究 （4）如图5，图6继续旋转，使得AC∥DF图5中此时∠AED=　　　　°，图6中此时∠AED=　　　　°． 【答案】（1）105°；（2）24°；（3）平行，30°；（4）75°，105°． 【解析】 【分析】 （1）根据度数求和即可； （2）根据∠ABC+∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝180°求解； （3）①根据∠CGE＝∠DEF＝90°来说明； ②在直角△CDE中计算∠CED，根据∠CEA＝90°求解； （4）图5在三角形DBH中求解，图6根据∠AED＝∠D+∠A求解． 【详解】 解：（1）∵∠CAB＝60°，∠EDF＝45°， ∴∠CDF＝105°， 故答案为：105°； （2）∵∠ACB+∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝180°，∠CEF＝156°， ∴∠DEA＝24°； 故答案为：24°； （3）①平行 ∵∠CGE＝∠DEF＝90°， ∴AC∥EF； ②∵∠C＝30°，∠CGE＝90°， ∴∠CEG＝60°， 又∠CBA＝90°， ∴∠AED＝30°； 故答案为：平行，30°； （4）如图5，∵AC∥DF， ∴∠DHB＝∠A＝60°， 又∠D＝45°， ∴∠AED＝75°； 如图6，∵AC∥DF， ∴∠AED＝∠D+∠A＝105°． 故答案为：75°，105°． 【点睛】 本题考查三角形和平行线性质，熟练应用三角形内角和及平行线性质是解答关键． 3．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC． （1）如图1，求证：AB//CD； （2）如图2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°时，试求的值； （3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°． 【解析】 【分析】 （1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得到结论； （2）由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°． 设∠ABF=α，则∠A