专题09 角平分线与线段的垂直平分线结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题09 角平分线与线段的垂直平分线结合 1．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度． 【答案】24 【解析】 【分析】 根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角. 【详解】 ∵DE是AC的垂直平分线, ∴EA=EC， ∠EAC=∠C, ∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC， ∵AF平分∠BAC， ∴∠FAB=∠FAC. 在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°， ∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180°       ， ∴∠C=∠EAC=24°， 故本题正确答案为24. 【点睛】 本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 2．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】 连接CD、BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相较于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，从而得到AF=AE，可证的Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，即可得到结果． 【详解】 解：如图所示，连接CD、BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中 ∴Rt△CDF≌Rt△BDE ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=6，AC=3， ∴BE=． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】 连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF，再证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出BG＝BF，则可求出答案 【详解】 解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG＝DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA＝DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG＝DF，DA＝DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG＝CF． 又∵BD＝BD，DG＝DF． ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG＝BF． 又∵AG＝CF， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16． 故答案为：16． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型． 4．如图，中，，，请依据尺规作图的痕迹，计算________． 【答案】75° 【解析】 【详解】 解：，，，根据作图痕迹可得是的平分线，，根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，，，． 5．如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度． 【答案】75 【解析】 【分析】 过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案． 【详解】 如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F， 则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°， ∵∠MON＝105°， ∴∠EDF＝360°−90°−90°−105°＝75°， ∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON， ∴DE＝DF， ∵P为BC中点，DP⊥BC， ∴BD＝CD， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴∠EDB＝∠CDF， ∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°． 故答案为：75． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于E