2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 思维导图 新课标要求 1.从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 2.从函数观点看一元二次不等式 （1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。 （2）借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 知识梳理 一、　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 二、　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 三、　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 名师导学 知识点1 解不含参的一元二次不等式（重点） 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 【例1-1】解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 【例1-2】（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解】(1)二次方程有二重根， 则不等式的解集为 (2)二次方程有二根， 则不等式的解集为 (3)不等式可化为 由可知，二次方程无根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (4)不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (5)不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 (6)不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为或 故不等式的解集为或 【变式训练1-1】（2022·广东广州·高一期末）不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 解得：. 故选：C. 【变式训练1-2】（2022·全国·高一）不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】解：依题意可得，故，解得或， 所以不等式的解集为或 故选：B． 【变式训练1-3】（2022·全国·高一专题练习）解以下一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) 【解】(1)由，得， 解得， 所以不等式的解集为 (2)由，得， 则，解得或， 所以不等式的解集为或 (3)由，得， 解得， 所以不等式的解集为 (4)由，得，得， 所以不等式的解集为 知识点2 解含参数的一元二次不等式（难点） 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 【例2-1】（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）求关于x的不等式的解集，其中a是常数； 【解】解：因为，所对应的方程有两个根、； 若，即，解得或，当时原不等式即为，解得；当时原不等式即为，解得； 若，即，解得，此时不等式，解得，即不等式的解集为； 若，即，解得或，此