2.2 基本不等式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 思维导图 新课标要求 理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。 知识梳理 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 二、用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 名师导学 知识点1 利用基本不等式判断/证明不等式 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【例1-1】（多选）（2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】解：对A：因为，，且，所以，故选项A错误； 对B：因为，，所以，当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对C：因为，当且仅当，即时等号成立，但，所以，故选项C正确； 对D：因为，，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，故选项D错误. 故选：BC. 【例1-2】（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式： (1)若，，，都是正数，求证：； (2)若，，是非负实数，则； (3)若，是非负实数，则； (4)若，，则． 【解】(1)由，，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以 即有，当且仅当时，等号成立. (2)由，，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以 当且仅当时，等号成立. (3) 当且仅当时，等号成立. (4) 当且仅当时，等号成立. 【变式训练1-1】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以，当且仅当且时取等号，故A一定成立 由做差比较法,，可知成立故B一定成立． 因为 所以，当且仅当时取等号，所以不一定成立，故C不成立． 因为4，当且仅当时取等号，故D一定成立. 故选：ABD 【变式训练1-2】（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当时，得，A错； 当时，，B错； ，，当且仅当时，等号成立．C正确； 是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：CD． 【变式训练1-3】（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________ 【答案】. 【解析】∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 【变式训练1-4】（2022·河北沧州·高一开学考试）设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；   ②；     ③(a＋b)；   ④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是________(填序号). 【答案】①②③ 【解析】由于a2＋1－a＝，故①恒成立； 由于＝＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝， 那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 故答案为：①②③. 知识点2 利用基本不等式求最值（重点、难点） 基本不等式求最值的两种常用方法 (1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． (2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．