2.1 等式性质与不等式性质-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 思维导图 新课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 知识梳理 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4可乘性 ⇒ac>bc[来源:学科 c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 名师导学 知识点1 不等式的性质（重点） 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【例1-1】（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：因为，所以， 所以，故A错误； 选项B：因为，则， 所以，即， 又，所以不等式 两侧同时乘以，则，故B错误； 选项C：当时，此时， ，， ，故C错误； 选项D：因为，所以， 则 ，故D正确. 故选：D. 【例1-2】（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，有，可得. 故选：C 【变式训练1-1】（2022·山东青岛·高一期末）已知，则下述一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为， 所以，，故AB错误； ，所以， 所以，所以， 即，故C正确； 对于D，若时， 则，故D错误. 故选：C. 【变式训练1-2】（多选）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（       ） A．若，则 B．若，，则 C．，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】解：对于A选项，因为，故，故，正确； 对于B选项，由于，，故，，故，即，正确； 对于C选项，由于，故，故，即，正确； 对于D选项，当时，，故错误. 故选：ABC 【变式训练1-3】（多选）（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）下列给出的条件中，其中能得出的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为＜等价于， 当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B错误D正确. 又正数大于负数，A正确，C错误， 故选：AD 【变式训练1-4】（多选）（2021·北京市十一学校高一期中）设a，b，c为非零实数，且，则下列判断正确的有___________. ①     ②   ③   ④   ⑤ 【答案】③④ 【解析】对于①，，但不成立，故错误； 对于②，取满足，但不成立，故错误； 对于③，，，，，故正确； 对于④，，，故正确； 对于⑤，取满足，但不成立，故错误. 故答案为：③④ 知识点2 利用不等式的性质求代数式的取值范围（易错点） 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 【例2-1】（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【解】（1）， 又， ， 又， （2）设，得 即 而， 【变式训练2-1】（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由，得. 故选：A. 【变式训练2-2】（2021·重庆市长寿中学校高一阶段练习）已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，， 所以. 故选：B 【变式训练2-3】（多选）（2021·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，，