专题09 数列不等式的证明与求解参数-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题09 数列不等式的证明与求解参数 ◆题型一:数列不等式的证明 方法解密: 对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题. 【经典例题1】已知等比数列为递增数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 (1)解：由题意，，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以； (2)解：由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ①② 得， 所以， 又因为，所以， 所以. 【经典例题2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足． (1)求出，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解析】 (1)由， 得．又， 则数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴， ∴，，…，， 累加得， ∴． 数列满足，① 当时，； 当时，，② 由①－②可得， 当时，也符合上式， 故数列的通项公式为． (2)由（1）可得， 则 ， 故成立． 【经典例题3】已知数列前项和为，若，且成等差数列． (1)求证：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，求证：． 【解析】 (1)，                                         因为成等差数列，所以，                               所以，且，                                      所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2)由（1）知.                                            .                                      一方面，；另一方面，，是递增数列，所以.综上所述，. 总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型. 【经典例题4】等差数列前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值． 【答案】(1) (2)7 【解析】 （1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）， ， 由题得，解得， 因为，所以n的最小值是7． 【练习1】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且. (1)求和的值； (2)求= (3)证明: 【答案】(1)；. (2) (3)见解析 【解析】 (1)∵等差数列中，前三项分别为，，， ∴，解得， ∴首项，公差． ∵， 化为：． 解得． (2)由（1）可得：， ∴， ∴． ∴ (3)因为，而，所以. 【练习2】已知数列{}的前项和为，， (1)求数列{}的通项公式； (2)设，为数列的前项和.证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解析】 (1)当时，，又，则， 当时，，解得， 故是首项为，公比为的等比数列，则； (2)因为，则， 故，又， 所以，即，又是单调递增数列，则 综上，. 【练习3】已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且． (1)求数列，的通项公式； (2)对任意的正整数n，有，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解析】 (1)解：∵①，∴令，可得， 又②，由①-②得， ∴， ∴， ∴数列为以为首项，2为公比的等比数列， ∴， ∴，，解得d＝1， ∴； (2)证明：， ∴． 【练习4】已知数列的前n项和为，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解析】 (1)解：当时，由可变形为， 即，即，所以， 又因为，，可得，所以， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，所以数列的通项公式为. (2)解：由，可得， 所以 ， 因为，所以，即， 又因为，单调递增， 所以，所以. ◆题型二:数列不等式求解参数 方法解密: 对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减. 含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题. (1) 恒成立，则 (2) 恒成立，则 下面看一下有关恒成立问题的例题: 【经典例题1】已知，若对于任意恒成立，则实数