专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和 ◆倒序相加法求和 等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和. 【经典例题1】 已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式. 【答案】 【解析】 因为， . 故….① ….② ①+②，得，. 所以数列的通项公式为. 【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若，则（       ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 【答案】D 【解析】 ， ∵函数 ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 【练习2】已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________． 【答案】 【解析】 函数，当时，， 因数列是正项等比数列，且，则， ，同理， 令， 又， 则有，， 所以. 故答案为： 【练习3】已知，求. 【答案】1005. 【解析】 因为，所以， 所以.令， 倒写得. 两式相加得，故. 【练习4】函数对任意,都有. (I)求的值; (II)若数列满足,数列是等差数列吗? 【解析】(I)令 ,得. (II)已知函数对任意,都有,可得 由两式相加可得 故数列是等差数列. ◆数列绝对值求和 (1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 (2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 【经典例题1】已知是数列的前项和,且. (1)求; (2)求数列的前项和. 解析:(1)由,可得, 当时,; 当时,上式也成立,所以. (2)当时,,即有 当时,,则有 ,即数列 的前项和 【经典例题2】已知等差数列的前项和为,且. (I)求的通项公式; (II)求数列的前项和. 【解析】 (I)由题意,解得,于是 ,故的通项公式为. (II)由(I)知. (1)当时, (2)当n>7时, 【练习1】已知在前n项和为的等差数列中，，．求数列的前20项和． 【答案】. 【解析】，可得，即，故时， 所以. 【练习2】等差数列中，，（，），求数列的前项和． 【答案】. 【解析】 由题意可知：数列的公差，则， 数列的前项和， 令，即，则， 设数列的前项和为，则有： 当时，； 当时， ， 综上所述：. 【练习3】数列中，，，求数列的前n项和． 【答案】 【解析】 ∵数列中，，∴， 又∵，∴数列是首项为31，公差为的等差数列， 则， 当时，；当时，. 设等差数列的前项和为，则 ， 当时， ， 当时，， 所以 【练习4】已知数列的前n项和，求数列的前n项和. 【答案】. 【解析】 ， 当时，. ∵也符合上式，∴数列的通项公式为. 由，得， 即当时，；当时，. 当时，； 当时， 故 ◆数列奇偶性求和 对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻的奇数项与偶数项相加作为新的一项. 【经典例题1】在数列中,且,则________. 【解析】当为奇数时,;当为偶数时,,因此数列的奇数项都是1,偶数项成公差为2的等差数列,则故填2600. 【经典例题2】数列满足,则的前60项和为_____. 【解析】 有 , , . 从而可得, , 从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2 ,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项, 以16为公差的等差数列. 的前60项和为故答案为:1830. 【经典例题3】已知数列满足:当且时,有 .则数列的前200项和为 A. 300 B. 200 C. 100 D. 0 【解析】已知,可令,则,可得 可知数列的前200项和为300.故选. 【练习1】已知数列满足：，，. (1)记，求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)353 【解析】 (1)因为，令n取，则， 即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以 (2)令n取2n，则， 所以， 由（1）可知，； ；所以 【练习2】已知数列数列的前项和且，且. （1）求的值，并证明：； （2）求数列的通项公式； （3）求的值. 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 （1）令，得，所以， ，， 两式相减得， 因为，所以； （2）由（1）可知，数列为等差数列，公差为，首项为， 所以当为奇数时，， 数列