专题07 数列求和-错位相减、裂项相消-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题07 数列求和-错位相减、裂项相消 ◆错位相减法 错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积. 公式秒杀: (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.) 【经典例题1】设数列的前n项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解析】 (1)因为． 所以，解得． 当时，， 所以，所以，即． 因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． (2)由（1）知，所以， 所以…① …② ①-②得 ，所以． 【经典例题2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】 (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得：，解得：， 所以， 由得：，所以， 所以 (2)， 则①， ②， 两式相减得： ， 所以 【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解． 当时，，所以解得，或，（舍）． 所以． (2)．所以①，则②， ①－②得，． 所以． 【练习1】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， . (2)由（1）得：； ，， ， . 【练习2】已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)令得，∴，当时，，则， 整理得，∴，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴； (2)由（1）得，则，， 两式相减得，化简得． 【练习3】已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)当时，，解得． 当时，， 整理得， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列， 故． (2)由（1）可知，， 则， ， 则 ． 故． 【练习4】已知数列满足，（）. (1)求证数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 (1)由已知可得，即，即，是等差数列. (2)由（1）知，，， 相减得， ◆裂项相消法 把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项. 常见的裂项形式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) (9) (10) . (11) (12) 【经典例题1】已知正项数列中，，，则数列的前项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，， 因为数列为正项数列，则， 则，所以，数列的前项和为. 故选：C. 【经典例题2】数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________． 【答案】 【解析】 因为， 所以． 故答案为：． 【经典例题3】已知数列的前项和为，若，则数列的前项和为________． 【答案】 【解析】 当时，， 当时，， 且当时，，故数列的通项公式为， ， 则数列的前项和为： . 故答案为： 【练习1】数列的前2022项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解： 记的前项和为， 则 ； 故选：B 【练习2】数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______． 【答案】 【解析】 由对于任意的，总有，，成等差数列可得： ， 当时可得， 所以， 所以， 所以， 由数列的各项均为正数， 所以， 又时，所以， 所以， ， . 故答案为：. 【练习3】_______. 【答案】 【解析】 ， . 故答案为：. 【练习4】设数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：数列满足， 当时，得， 时，， 两式相减得：， ∴， 当时，，上式也成立. ∴； (2)因为， ， ∴，