1.3 空间向量及其运算的坐标表示 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知 识 题 型 类 型 空间直角坐标系 点的对称、向量的模、两点的距离 重点、考点 空间向量的运算 空间向量的运算、夹角 重点、考点 空间向量的平行与垂直 空间向量的平行与垂直的应用 重点、考点 一．空间向量直角坐标系 1.空间之间坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.右手法则：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 二．空间直角坐标系中点的对称 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴（中心） 对称点的坐标 记忆方法 x轴 (a，-b，-c) 关于谁对称谁就不变（与平面直角坐标系相同） y轴 (-a，b，-c) z轴 (-a，-b，c) xOy平面 (a，b，-c) yOz平面 (-a，b，c) xOz平面 (a，-b，c) 原点 (-a，-b，-c) 关于原点对称，则坐标都变为相反数（与平面直角坐标系相同） 三．空间向量的坐标运算 设，，则： 坐标运算 加法运算 减法运算 数乘运算 数量积运算 四．空间向量的平行与垂直 设，，则： 坐标运算 平行 ，（即向量平行，则对应坐标成比例） 垂直 五．空间向量的长度与夹角 设，，则： 坐标运算 模 夹角公式 六．空间向量中两点之间的距离公式 设，，则：. 考点一 空间直角坐标系的点 已知点与点，则的中点坐标为_______．例1 【答案】 【解析】 【详解】 中点为． 若△顶点，且，，则点C坐标是_______.例2 【答案】 【解析】 【分析