第7讲-轴对称复习知识归纳与复习训练　2022—2023学年 苏科版 数学八年级上册

第7讲 轴对称复习 知识归纳 典型例题 知识点1：线段、角的轴对称性 垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 例1：如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 例2：如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF=∠ACF． 【巩固练习】 1、在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB，求证：BM=CN． 2、小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由． 知识点2：等腰三角形的轴对称性及应用 1、 等腰三角形性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 例3：如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E． （1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由； （2）若BD=4、CE=3，求DE的长； （3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长； （4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？ 例4：上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离． 例5：已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）． 【巩固练习】 1、己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE． 2、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE． 求证：AC-AB=2BE． 知识点3：等边三角形的轴对称性和应用 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 例6：如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD． 说明：△ADE是等边三角形． 例7：如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形： （1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； （2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）． 【巩固练习】 1、已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD=BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 课上练习 1、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，BD的垂直平分线MN交AB于的E，连接DE，求证：AB=AC+CD． 2、如图，在△ABC中，AB＞AC，BC的垂直平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，线段AC，AE，BE之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并加以证明． 3、如图，现在给出两个三角形，请你把图1分割成两个等腰三角形，把图2分割成三个等腰三角形． 课后作业 1、已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC．求证：DC=AD． 2、等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形． 3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 轴对称复习 知识