12.2.4 直角三角形全等的判定（第四课时）(HL)（教学课件，含动画演示）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

12.2 三角形全等的判定 12.2.4 直角三角形全等的判定(HL) 第十二章 全等三角形 人教版 八年级上册 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点） 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点） 学习目标 1.判定两个三角形全等方法__________________________. 2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E. (1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF_____(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法). (2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF_____(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法). (3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法). SSS、SAS、ASA、AAS ASA 全等 全等 全等 AAS SAS 若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？ 针对练习 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 直角三角形“HL”判定方法 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）. AB=A′B′ BC=B′C′ 几何语言： 【注意】 (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C与∠D都是直角 ， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ， ∴ BC=AD. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ 解：AD=BE，理由如下： 依题意可得，AC=BC，CD=CE. ∵ DA⊥AB，EB⊥AB， ∴ ∠A=∠B=90° ， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ， ∴ AD=BE. 例2.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC. 证明:连接DC. ∵AC⊥AD，BC⊥BD， ∴∠A=∠B=90°， 在Rt△ADC和Rt△BCD中， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)， ∴AD=BC. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC． 证明：连接AC. ∵AB⊥BC,AD⊥DC, ∴∠B=∠D=90°, 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC (HL) , ∴BC=BD. 例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF. 证明:AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∵DE、DF分别垂直于AB、AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴DE=DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF. 已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD． 求证：BE＝DE． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠BAE＝∠DAE， 在Rt△ABE和Rt△ADE中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADE（SAS）， ∴BE＝DE． 例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）． （1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠C＝∠AED＝90°， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE. 例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CA