第四章 指数函数与对数函数（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 一．指数与指数函数 （一）指数 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。 注意：(1) (2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定： 正数的正分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 题型一：根式的化简求值 例1：下列运算中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，所以，错误； 对于B，因为，所以，则，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误． 故选：C． 举一反三 1.式子的计算结果为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 2．化简________. 【答案】## 【详解】.故答案为：. 题型二：指数幂的运算 例2：计算：___． 【答案】##0.5 【详解】原式. 故答案为： 举一反三 1．（多选）下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A. ，故正确；B. ，故错误； C. ，故错误；D. ，故正确. 故选：AD 2．计算： (1)； (2). 解：(1) (2) 题型三：分数指数幂与根式的互化 例3：已知，为正数，化简_______． 【答案】 【详解】原式．故答案为：． 举一反三 1．（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 2.若，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则． 故选：C． 题型四：指数幂的化简、求值 例4：化简：，并求当时的值. 【详解】由 时，原式 举一反三 已知，则=__________. 【答案】 【解析】 【详解】 ,,, . 二 指数函数 1．指数函数定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是． 2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过定点，即时 （4）在上是增函数 （4）在上是减函数 3.与指数函数相关的定义域及值域问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 4.指数式的大小比较 （1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较. 题型一：指数函数的概念 例5：函数是指数函数，则（       ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 故选：C 举一反三 若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___． 【答案】 解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1）， ∴，解得，∴.故答案为：. 题型二：指数函数的图像 例6：在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：函数的是指数函数，且，排除选项C， 如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确； 如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B． 举一反三 如图所示，函数的图像是（       ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】，时，时，. 故选：B. 题型三：指数函数的定义域 例7：函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】由题，即，即， 因为为单调递增函数，所以，即故答案为： 举一反三 1.已知函数的定义域为，则_________． 【答案】 【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意. 故答案为：. 2．函数的定义域为 _________. 【答案】 解：要使有意义，则；解得，且； 的定义域为. 故答案为： 题型四：指数函数的值域 例8：函数的值域为_________________. 【答案】 【详解】当时，，则，故函数的值域为. 故答案为：. 举一反三 函数且的值域是，则实数 ____. 【答案】或 【详解】当时，函数且是增函数， 值域是， ； 当时，函数且是减函数， 值域是， . 综上所述，可得实数或. 故答案为：或 题型