专题1.3 有理数运算中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题1.3 有理数运算中的综合 【典例1】如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值为　 　． 【思路点拨】 根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论． 【解题过程】 解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数， ∴四个括号内是各不相同的整数， 不妨设（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d）， 又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8， ∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4． ∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d）， ∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]， ∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大， ∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078． 故答案为：8078． 1．（2021秋•曲阜市校级期中）我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天 【思路点拨】 根据题意和图形，可以列出算式1×73+4×72+3×71+5，然后计算即可． 【解题过程】 解：由图可知： 1×73+4×72+3×71+5 ＝1×343+4×49+3×7+5 ＝343+196+21+5 ＝565（天）， 即孩子自出生后的天数是565， 故选：B． 2．（2021秋•社旗县期中）下列变形正确的有（　　）个． ①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6； ②3（﹣2）+（）（）＝32； ③（）； ④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 根据加法的交换律可以判断①；根据省略加法的方法可以判断②；根据有理数的除法和加减法可以判断③；根据乘法分配律可以判断④． 【解题过程】 解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正确； ②3（﹣2）+（）（）＝32，故②错误； ③（） 6 ， 而 3412 ，故③错误； ④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④错误； 故选：B． 3．（2021秋•韩城市期中）如果四个互不相同的正整数m、n、p、q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，则4m+3n+3p+q的最大值为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 【思路点拨】 由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值． 【解题过程】 解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9， ∴要求4m+3n+3p+q的最大值，则有：4﹣m＝﹣3，4﹣n＝3，4﹣p＝﹣1，4﹣q＝1， 解得：m＝7，n＝1，p＝5，q＝3， 则4m+3n+3p+q＝50． 故选：B． 4．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：12×11，22×21，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　） A．（﹣3，） B．（4，） C．（﹣5，） D．（6，） 【思路点拨】 根据“同心有理数对”的定义判断即可． 【解题过程】 解：∵﹣3，2×（﹣3）1，， ∴数对（﹣3，）不是“同心有理数对”； 故选项A不合题意； ∵4，2×41，， ∴（4，）不是“同心有理数对”， 故选项B不合题意； ∵，，， ∴（﹣5，）不是“同心有理数对”， 故选项C不合题意； ∵，， ∴（6，）是“同心有理数对”， 故选项D符合题意； 故选：D． 5．（2021秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则： 若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（　　） A．68 B．78 C．88 D．98 【思路点拨】 根据运行的框图依次计算，