专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练 专题1. 最值问题 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。 题型1. 两个绝对值的和的最值 【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为。 例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案. 【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论） 当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x； 当时，=（x+2）+（5-x）=7； 当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3； ∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D. 方法二：几何法（根据绝对值的几何意义） 可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和， 通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。 【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题. 变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3 【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题； （2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可； （3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7； （2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在； 当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； 当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在． 故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下： 当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3； 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3； 当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3． 故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的 距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ； ②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ． 【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式