第5讲 直角三角形相似的判定　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第5讲 直角三角形相似判定 知识归纳 思考：我们学过的三角形相似的判定定理有哪些？ 预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。 思考：RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明为什么： (1)∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9． 思考：我们学过的全等三角形的判定和相似三角形的判定之间有什么对应关系？ 1. 相似三角形的判定 1. 全等三角形的判定 1. 判定定理1: 1. 两角对应相等，两三角形相似。 1. SAS 1. 判定定理2: 1. 两边对应成比例夹角相等两三角形相似。 1. ASA 1. 1. AAS 1. 判定定理3: 1. 三边对应成比例，两三角形相似。 1. SSS 1. ？ 1. 猜想：斜边和一条直角边对应成比例， 1. 两直角三角形相似 1. HL 【案例】如图，在和中，，，求证：∽ 相似三角形判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 简单地说：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 练一练：一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 ____相似．(填“一定”、“不一定”或“一定不”). 试一试：如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ） ．； ．； ．； ．． 典型例题 例1：如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=b，BC=a， 当BD与a，b之间满足怎样的关系时，ΔABC∽ΔCDB? 变式练习：在ΔABC与 ΔBCD中，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， 当BD与a，b之间满足怎样的关系时，有两个三角形相似？ 注意：对条件探索性问题，在解题时应分类对每一种情况进行讨论，切不可凭主观想象，只解一种情况，而忽略其他的解。 例题2：如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE. 例题3：如图，在RtΔABC中， ∠C=90°，CD是AB边上的高。 求证：(1) (2) (3)能否根据（2）证明勾股定理？ 课上习题 1.已知在中，垂足为分别为垂足 求证 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F． 求证：CD2＝DF·DG． 3. 试一试：如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG ：FA＝FB ： FH (2)FD是FG与FH的比例中项 4. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 课后作业 1. 下列命题中一定错误的是（　　） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 有一对锐角相等的两个直角三角形相似 C. 全等的三角形一定相似 D. 所有的等边三角形都相似 2. 如图，已知∠ACB=∠D=90°，下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是（　　） A. AB∥CD B. BC平分∠ABD C.∠ABD=90° D.AB：BC=BD：CD 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=________秒时，△CPQ与△ABC相似. 4. 【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运