第7讲 相似三角形的基本图形　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第7讲 相似三角形基本图形 知识归纳 一 、相似三角形判定的基本模型认识： （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （6） 双垂型： 二 、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展 共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形 典型例题 【例1】如图，中，，于点D． 求证：．A B C D 【例2】如图，已知等腰三角形ABC中，AB = AC，高AD，BE相交于点H．A B C D E H 求证：． 【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E， AD = BD，过E的直线EF // AB交AD于点F．A B C D E F （1）AF = BE； （2）AF2 = AE·EC． 【例4】如图，在中，AD平分，AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点 H，交AC于点G，交BC的延长线于点F．A B C D E F G H 求证：． 【例5】已知，在等腰中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE = 6，AF = 4，求底边BC的长．A B C D E F 【例6】如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积．A B C D E 【例7】如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C 重合），DE与AC相交于点F． （1）求证：∽； （2）若BC = 1，设BD = x，CF = y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）当x为何值时，？ A B C D E F 【例8】在中，，于点D，E是AC边上的一个动点（不 与A、C重合），于点F，连接DF． （1）求证：；A B C D E F （2）求证：． 课上习题 【习题1】 如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD， 垂足为F．求证：．A B C D E F 【习题2】如图，在中，点E在CD上，于F，于G． 求证：．B C D E F G 【习题3】如图，在平行四边形ABCD中，AB = 6，AD = 9，的平分线交BC于E，交 DC的延长线与F，于G，，则的周长为______．A B C D E F G 【习题4】已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF = DE，AE的延长线与DF相交于点G． （1）求证：；E D C G F A B M （2）如果DE = CE，求证：AE = 3EG． 【习题5】如图，中，，，O是AB的中点，将45°角的顶 点置于点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E． （1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当x为何值时，是等腰三角形？A B C D E O 【习题6】已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，点P为AB边上一动点， 沿PE翻折得到，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G． （1）如图，当BP = 1.5时，求CQ的长； （2）如图，当点G在射线AD上时，设BP = x，DG = y，求y关于x的函数关系式， 并写出x的取值范围； （3）延长EF交直线AD于点H，若∽，求BP的长．A B C D E F G P Q 课后作业 【作业1】和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位 于边BC的中点上． （1）如图1，设DE交AB于点M，EF交AC于点N，求证：∽； （2）如图2，将绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论． A B C D E A B C E D F F N M N M 【作业2】如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC、CD于点M、 F，BGAC，垂足为点G，BG交AE于点H． （1）求证：∽； （2）找出与相似的三角形，并证明； （3）若E是BC的中点，BC = 2AB，AB = 2，求EM的长． 【作业3】已知，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，