第8讲 相似三角形辅助线的作法　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第8讲 相似三角形辅助线的作法 知识归纳 利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型． 角平分线类的相似模型如下： 分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法． 典型例题 【例1】过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证： ．A B C D E F 【例2】如图，已知中，AD、BE相交于G，，． 求的值A B C D E G 【例3】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2，A B C D BD = 2DC，求AC的长． 【例4】已知：P为的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于 点D和点E．A B C D E P N M 求证：． 【例5】如图，AD是的内角平分线．求证：．A B C D 【例6】如图，AD是的外角平分线．求证：． A B C D 【例7】在中，，AD平分交BC于点D． 求证：．A B C D 课上习题 【习题1】如图，在中，，AB = 5，BC = 3，点D、E分别在BC、AC上， 且BD = CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF // AB，则BD的长为______ 【习题2】AD是的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M， 交射线AC于点N，设AM = x·AB，AN = y·AC，（，）． （1）如图1，当为等边三角形且时，求证：∽； （2）如图2，证明．A B C D N M A B C D N M 图1 图2 【习题3】如图，在中，，AC = 8，BC = 6，于点D．点P从 点D出发，沿线段CD向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点 同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止．设运动 时间为t秒． （1）求线段CD的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时 刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；A B C D P Q （3）当t为何值时，为等腰三角形？ 课后作业 【作业1】已知AD、AE分别为的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：．A B C D E M 【作业2】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一 起，A为公共顶点，，它们的斜边长为2，若绕点旋转，AF、 AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明； （2）的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角 坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD = CE，求出点D的坐标，并通过计算验 证； （3）在旋转过程中，（2）中的等量关系是否始终成立？若成立，请证明 你的结论；若不成立，请说明理由． A B C D E F G A B C D E F G O x y 图1 图2 【作业3】如图，中，4AB = 5AC，AD为的角平分线，点E在BC的延长线上， EFAD于点F，点G在AF上，FG = FD，联结EG交AC于点H，若点H是AC的中点，求的值 【作业4】如图，梯形 中， 点 为边的中点，交于点 ． 求：（1）的值；（2）的值． 【作业5】如图，正方形ABCD中， （1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求的值； （2）E的位置改为边BC上一动点，且，其它条件不变，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 相似三角形辅助线的作法 知识归纳 利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型． 角平分线类的相似模型如下： 分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法． 典型例题 【例1】过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E． 求证： ．A B C D E F 【解析】过点作交于点． 　，； 是中线，　，　；． 【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型． 【例2】如图，已知中，AD、BE相交于G，，． 求的值 【解析】点作交于点．A B C D E G 　，； ，　，M ，，， ，的值为． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型． 【例3】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2， BD = 2DC，求AC的长．A B C D 【解析】过点作交于点． ，　； 又， ， ， M ． ， ．　 又， ． ． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识． 【例4】已知：P为的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于 点D和点E．A B C D E P N