第9讲 黄金分割讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第9讲 黄金分割 知识归纳 1、若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P是线段AB的黄金分割点； 2．叫做黄金比值。 如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与AB的比值为，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）. 典型例题 一、黄金分割 例1、如果是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为·········（ ） 、； 、； 、； 、 试一试、已知线段的长度为，是线段的黄金分割点，且那么的长度为 例2：如果点把线段分割成和两段，其中是和 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点。如图，已知线段的长度是，点是线段的黄金分割点，求线段的长？ 归纳总结： 黄金分割：若点C把线段AB分成两条线段AC、BC (AC＞BC)，若，我们称线段AB被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比。 （） 试一试：已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP=，则AB的长为（） A、2 B、 C、2或 D、以上都不对 例3：市场上供应的纸都是以下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，问纸张的长与宽满足什么条件？ 试一试：把一个矩形截去一个正方形后，所剩下的矩形与原矩形正好是相似,问原矩形的短边与长边之比是多少？ 二、三角形相似复习 例4：已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似． 试一试：如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，图中是否存在与∠EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．A D B E C F 试一试：如图，梯形中，，，点在边上，与相交于点，且． 求证：（1）∽； （2）．A B C D E O 课上习题 1、 已知点是线段的黄金分割点（），若，则 2、已知线段，如果点是线段的黄金分割点，且＞.那么的值为 . 3．如图：四边形对角线与相交于点，，． （1）求证：∽；（2）点在线段上，若∥，求证：． D A B C O E 4．如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点． （1）证明：△∽△；C A D B E P （2）设，，求与的函数关系式，并写出它的定义域； 5. 在△中，，，，是边上一动点（不与端点、重合），过动点的直线与射线相交于点，与射线相交于点． （1）设，点在边上，△与△相似，求此时的长度； （2）如果点在边上，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，设，，求与之间的函数关系式并写出函数的定义域； （3）设，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，求的值． 6. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长． E D C B A （备用图） E D C B A P （图） 课后作业 1、相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形上看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 厘米。 2、把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm． 3、如图5，已知梯形ABCD中，EF//AD//BC。点E，F分别在腰AB、DC上，且AE=3，EB=5 （1） 求的值； （2） 当AD=4，BC=12时，求EF的长 4、在Δ中，点在边上，且满足（如图7）. （1） 求证：; （2） 如图8，以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，联结，延长交于点，求证：. 5、如图，点位于△边上，已知是与的比例中项； （1）求证：； （2）现有点、分别在边、上，满足，当， ，时，求证：； 6、如图，△边上点、（不与点、重合），满足， ，，； （1）当时，求线段的长； （2）当△是等腰三角形时，求线段的长； （3