第10讲 重心　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第10讲 重心 知识归纳 1、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心 2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍 典型例题 一、重心 例题1：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．如图，是的中线，交于点，求证：. 试一试： 1．如图，已知：△ABC的中线AD、CE相交于点G，AD=6cm，EG=3cm，则AG=_____,EC=_______. 2．如图，在ΔABC中，AM是中线，G是重心，GD∥BC，交AC于D．若BC＝6，则GD＝ ． M D B C G A 例题2：已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长． B C A G D B C A G 试一试：已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=6，则CG的长为 ． 二、三角形相似复习 例题3：如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的延长线于点F， 求证： ． 试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且，．求的值． 例题4： 如图，在中，，，AC=3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F． （1）当∥时，求的长； （2）联结，当和相似时，求的长． A C F E D B A C B （备用图） A C B （备用图） 试一试：如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且. （1）当时，联结,求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）联结，若为等腰三角形，求的长. C A B 备用图2 C A B 备用图1 D A B F E C C 课上习题 1．已知：在△中，点、分别在边、上，∥， ，，那么边 的长为 ． 2．如图△ABC中，G为重心GD∥AB，GE∥AC，求证：BD=DE=EC。 3．如图，已知为△的角平分线，交于，如果，那么= ． E A B C D 4．已知，△ABC中，G是三角形的重心，AB=8，过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长. 5. 已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，AF∶BF=2∶5，则． 6．四边形是平行四边形，是对角线上一点，射线分别交射线、于点、． （1）如图，如果点在边上，点在边的延长线上，求证：； （2）如果点在边的延长线上，点在边上，试写出与之间的一种等量关系，并给出证明． 课后作业1 1．如图，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，D在BC边上，AD交CE于F，且∠CAD=∠B，那么图中与△CDF相似的三角形是 ．A B C D E F 2．在△中，是的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点 ．（1）求证：△∽△；（2）若，，求△的面积． 3．如图，在平行四边形中，为边上一点，且，在上取一点，使． （1）请直接写出图中所有相似的三角形（不必证明）； （2）若，，求的值．（可以直接使用第（1）小题结论）． 4. 已知：如图，⊥，∥，，．点在线段上，联结，过点作的垂线，与相交于点．设线段的长为． （1）当时，求线段的长； （2）设△的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△∽△时，求线段的长． A B C D P A B C D （备用图） 5.如图，已知在直角梯形中，∥，，，，．动点、分别在边和上，且．线段与相交于点，过点作∥，交于点，射线交的延长线于点，设． （1）求的值． （2）当点运动时，试探究四边形的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示四边形的面积；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积． （3）当△是以线段为腰的等腰三角形时，求的值． A B Q C G F E P D 课后作业2 1．如图，在△中，点、分别在、上，，，∥，则的值是（ ） ．； ．； ．； ．． 2． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若S△AOD＝4，S△AOB＝6，则S△BOC＝_________． 3、如图，在中，点在边的延长线上，与边交于点，与对角线交于点. 求证： 4、如图，在中，点、分别在边、上，，的平分线分别交线段于点 （1） 求证： （2） 联结，若，求与的长. 5、已知：如图6，菱形，对角线，交于点，，垂