第14讲 相似三角形综合题初步认识　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第14讲 相似三角形综合题初步认识 知识归纳 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 问题1：上题中如何证明△ADE∽△ABC？ 问题2：上题中共有多少对相似三角形？ 典型例题 例题1：如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的延长线于点F， 求证： ． 试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且，．求的值． 例题2：已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似． 试一试：如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，图中是否存在与∠EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由． A D B E C F 例题3：如图，已知在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点． （1）求证：△FDC∽△FBD；（2）求证：． 试一试：如图，梯形中，，，点在边上，与相交于点，且．A B C D E O 求证：（1）∽； （2）． 例题4：如图所示，在直角梯形ABCD中，∥，点E在BC上，点F在AC上， （1）求证：∽； （2）当AD=8，DC=6，点E，F分别是BC，AC的中点时。求直角梯形ABCD的面积 课上习题 1．如图：四边形对角线与相交于点，，． （1）求证：∽；D A B C O E （2）点在线段上，若∥，求证：． 2．如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点． （1）证明：△∽△；C A D B E P （2）设，，求与的函数关系式，并写出它的定义域； 3、己知分别是△的边、上的高，高、所在的直线相交于点。 (如图) （1）当是锐角时，求证：△∽△； （2）当是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，无需说明理由； （3）如果,求的值。 4.边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点， P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA＝x，S⊿PCE＝y， （1）求证：DF＝EF； （2）当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由。 课后作业 【巩固练习】 1．如图，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，D在BC边上，AD交CE于F，且∠CAD=∠B，那么图中与△CDF相似的三角形是 ．A B C D E F 2．在△中，是的中点，且，⊥，与相交于点，与相交于点．（1）求证：△∽△；（2）若，，求△的面积． 3．已知：如图，在△中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作∥，交线段的延长线于点。 （1）求证：； （2）如果，求证：。 4.如图，在中，是形内一点，且。 （1）求证：∽； （2）试求的值。 5．如图，在平行四边形中，为边上一点，且，在上取一点，使． （1）请直接写出图中所有相似的三角形（不必证明）； （2）若，，求的值．（可以直接使用第（1）小题结论）． 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a． （1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE； （2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由； （3）当tan∠PAE=时，求a的值． 真题演练 如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴． （1）求这条抛物线的解析式；y A O C B x （2）求的值； （3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点， 当与相似时，求点E的坐标． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 相似三角形综合题初步认识 知识归纳 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 参考答案：（1）证明：在△BOE与△DOC中 ∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD ∴△BOE∽△COD ∴ 即 又∵∠EOD＝∠BOC ∴△EOD∽△BOC (2) ∵△EOD∽△BOC∴ ∵S△EOD＝16，S△BOC＝36