第18讲 锐角三角比章节复习讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第18讲 锐角三角比的复习 知识归纳 ∠A的对边 c A C B ∠A的邻边 斜边 b a 一、锐角三角比的概念 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c （1）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作： （2）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作： （3）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦，记作： （4）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余弦，记作： 二、特殊角的三角比值 A 30° 45° 60° 三、解直角三角形的应用 1、仰角、俯角 如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角． 东 南 西 北 B A 教学目的：通过复习学生能熟练掌握解直角三角形的应用； C D 2、水平距离、垂直距离、坡面距离 如图2所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离． 铅垂线 仰角 俯角 视线 水平线 视线 图1 A B C 垂 直 距 离 坡面距离 水平距离 图2 图3 3、坡度、坡角 如图3所示，把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示，即，坡度一般写成的形式，如． 坡面与水平的夹角叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：.坡度越大，则角越大，坡面越陡． 4、方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫方向角，如右图，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东，北偏西，西南方向，南偏东． 典型例题 【题型一】特殊角的三角比 例1. 计算： 例2. 计算：． 例3. 计算： 【试一试】 1. 2. 化简： 3. 【题型二】解直角三角形 例1. 已知：点是的边的一个动点（如图11），过点作，垂足为，点在边上（点与点不重合），且满足，联结、． （1）当平分时，求证：； （2）若，．当时，求的长． A B C D E F 图11 A B C 备用图 2、如图，将一副三角尺如图摆放在一起，连结，试求的余切值。 C A B D D B A C 【试一试】 1. 如图，在中，是边上的高，。 （1）求证：； （2）若，求的长。 2. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为,点落在上。 （1）求证：； （2）若，求的值。 【题型三】解直角三角形的实际应用 例1. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度和高度都可直接测得，从三点可看到塔顶端，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度的方案，具体要求如下：<1>测量数据尽可能少；<2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测间距离，用表示；如果测间距离，用表示；如果测角，用等表示，测倾器高度不计）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度（用字母表示）。 例2. 如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在处测得灯塔在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔的正东方向的处时，求此时轮船与灯塔的距离．（结果保留根号） 例3. 如图，小明在大楼30米高（即米）得窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为15°，山脚处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i为1：，点在同一个平面上.点在同一条直线上，且. （1）山坡坡角（即）的度数等于________度； （2）求两点间的距离. （结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）. 【试一试】 1. 如图，有甲、乙两楼，甲楼高是23米，现在想测量乙楼的高度，某人在甲楼的楼底和楼顶，分别测得乙楼的楼顶的仰角为和45°，利用这些数据可求得乙楼的高度为多少米？（，结果精确到0.01米） 2. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5:12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高. 【题型四】新定义 例1. 通过学习三角的三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在中，，顶角的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）= 。 （2）对于，的正对值的取值范围是 。 （3）如图②，已知，其中为锐角，试求的值。 A