第1章 第4节 均值不等式（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　均值不等式 1　掌握均值不等式(a，b>0). 2　能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 知识梳理 1．均值不等式 ≤ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． (1)在运用均值不等式及其变形时一定要注意验证等号是否成立． (2)要多次运用均值不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． 2．利用均值不等式求最值 已知x>0，y>0， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)． 此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”．“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． 学霸笔记 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)． 2．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)； (2)ab≤()2(a，b∈R)； (3)()2≤(a，b∈R)； (4)＋≥2(a，b同号)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 进阶诊断 1．判断正误 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　×　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　) (5)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．(　√　) 2．(必修第一册·P76B2改编)已知x<0，y＝x＋，则(　D　) A．有最小值，最小值为2 B．有最大值，最大值为2 C．有最小值，最小值为－2 D．有最大值，最大值为－2 3．(多选)下列说法正确的是(　AB　) A．x＋ (x>0)的最小值是2 B． 的最小值是 C． 的最小值是2 D．2－3x－ 的最大值是2－4 4．(必修第一册·P77B9改编)已知a>0，b>0，＋＝1，则ab的最小值是8． 5．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为． 6．(必修第一册·P77B12改编)某种汽车，购车费用是10万元，第一年维修费是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，则这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值为3万元． 　利用均值不等式求最值问题 多维贯通 　利用拼凑法求最值 函数y＝(x>1)的最小值为2＋2． 解析：y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 方　法　规　律 拼凑法利用均值不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 练1　若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4． 解析：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4. 　利用常值代换法求最值 (2021·山东烟台模拟)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为(　C　) A． B．2 C． D． 解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得＋＝8， 则4x＋2y＝(4x＋2y)(＋) ＝(10＋＋)≥(10＋2 )＝. 当且仅当＝，即y＝x＝时取等号． 故4x＋2y的最小值为. 方　法　规　律 常数代换法利用均值不等式求最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用均值不等式求解最值． 练2　若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　C　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)， 即ab＝a＋b，则有＋＝1， 所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4. 　利用消元法求最值 (2021·辽宁五校联考)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是9． 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 先将已知等式变形，可得a＝1－，然后将a消元代入可得＋4b＝＋4(b－1)＋5，再利用均值不等式求出最值即可 解析：由ab－b＋1＝0可得a＝1－，由a＝1－>0且b>0得b>1，所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.易知＋4(b－1)