第1章 第3节 不等式性质与一元二次不等式& 微专题系列2 数学应用——一元二次不等式的实际应用问题（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　不等式性质与一元二次不等式 1　理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2　结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 3　了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4　了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识梳理 1．等式的性质 (1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc． 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 003.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 性质1(可加性) a＞b⇔a＋c＞b＋c ⇔ 性质2 (可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc 注意c的符号 性质3 a>b，c<0⇒ac<bc 性质4(传递性) a>b，b>c⇒a＞c ⇒ 性质5(对称性) a＞b⇔b＜a ⇔ 推论1(移项法则) a＋b>c⇔a>c－b ⇔ 推论2(同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d ⇒ 推论3(同向同正可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ⇒ 推论4(可乘方性) a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 推论5(可开方性) a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2) a，b同为正数 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立． 4．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形． 学霸笔记 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ⇒＜＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 进阶诊断 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　×　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　×　) 2．(多选)(必修第一册·P56A1改编)下列等式中，是恒等式的有(　ABD　) A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 D．x2－2y2＝(x－y)(x＋y) 3．(多选)(必修第一册·P80A8改编)已知a>b>0，下列不等式中不正确的是(　ABD　) A． > B．ab<b2 C．－a2<－ab D． < 4．(必修第一册·P71B1改编)已知A＝{x|4－3x－x2≥0}，B＝{x|x2＋2x>0}，则A∩B＝(　D　) A．R B．{x|－4≤x<－2} C．{x|0<x≤1} D．{x|－4≤x<－2或0<x≤1} 5．(必修第一册·P57B13改编)已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有实数根，并且两根的平方和比两根之积大21，则实数m的值为(　B　) A．－2 B．－1 C．17 D．17或－1 6．(必修第一册·P80A9改编)已知a，b都是正实数，且a≠b，则a3＋b3与ab2＋a2b的大小关系为a3＋b3>ab2＋a2b． 7．(必修第一册·P77B10改编)已知关于x的不等式≤－1的解集是，则a的值为3． 　不等式的性质及应用 自主练通 1．(2021·江苏苏州中学月考)若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＜2a－b中，正确的不等式有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜a