专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二) 【必备知识点】 ◆构造四:同型构造法 所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:,构造,则,为常数数列. 模型二:,构造,则,为常数数列. 模型三:,构造,则,为常数数列. 模型四:,构造,则,为等比数列. 模型五:,构造,则,为等比数列. 模型六:,构造,则,为等差数列. 模型七:,构造,则,为等差数列. 模型八:,构造,则,为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将和,和等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列. 【经典例题1】已知数列满足,求. 【解析】 因为,所以令,则,即是常数数列,所以,即. 【经典例题2】已知数列中,且,求数列的通项公式. 【解析】 因为,所以令,则,即是常数数列,所以因此 【经典例题3】已知数列中,且,求数列的通项公式. 【解析】 ,等式两侧同除,形成,令,则,这又回到了构造一的形式,所以,是以2为首项,2为公比的等差数列,即, ,所以,. 【经典例题4】已知,且,求数列的通项公式. 【解析】 等式两侧同除,得,即,,另，所以,接下来就是叠加法发挥作用的时候了 …… 叠加得,,所以，即，. 【练习1】已知数列满足,则 A. 28 B. C. D. 【答案】B 【解析】 数列满足, , 则:(常数) 则：数列是以为首项,3为公差的等差数列。 所以：, 所以： 则: 故选：B 【练习2】已知是首项为1的正项数列,且,则它的通项公式是______________. 【解析】 已知等式可转化为因为,所以,所以令,则,即是常数数列,所以,即,因此. 评注: 本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出. 【练习3】已知数列满足,求数列的通项公式. 【解析】 将等式两边同时除以得,,所以是以为首项,3为公差的等差数列,即,所以. 【练习4】已知数列满足,,求数列的通项公式. 【解析】 等式两侧同除,得,即 ,另，所以,接下来依旧是叠加法 …… 叠加得,,,即,,当时,代入题干原式得,经检验可以合并,. 【练习4】已知数列前项的和为,且满足. (1)求的值; (2)求的通项公式. 【解析】 (1)当时,因为,所以. 当时,因为,所以. (2) ,所以当时,所以,即 所以令,则,即是常数数列,所以因此. ◆构造五:取倒数构造等差 类型一:数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列满足:,则有. 所以是等差数列. 类型三:若数列的前项和为,且满足,则有,两边同除以得:,故是以为首项,为公差的等差数列,即 ,再用,求. 【经典例题1】在数列中,若,则___________. 【解析】 取倒数得:,即所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以. 【经典例题2】已知数列的前项和为,且满足. (1)求证:是等差数列. (2)求的表达式. 【解析】 (1)因为 ,所以,两边同除以得:,故是以为首项,2为公差的等差数列,即,所以. (2). 【经典例题3】已知数列的首项,证明:数列是等比数列并求的通项公式. 【解析】 因为,所以,所以是以 为首项,为公比的等比数列,所以. 【练习1】设是数列的前项和,且,则 A. B. C. D. 【答案】 【解析】 是首项为,公差为-1的等差数列 综上所述，答案选择: 【练习2】已知中,,则_______. 【答案】 【解析】 数列是首项为,公差为的等差数列, , . 【练习3】已知数列,求的通项公式. 【答案】 【解析】由已知得,则,即.所以数列 是以为公差的等差数列.所以,即. 【过关检测】 一、单选题 1．已知数列满足，，则数列的前100项的和是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，，且， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 即， . 故选：A 2．数列满足，，则下列结论错误的是（       ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】D 【解析】 由，且，则，，， 以此类推可知，对任意的，， 所以，，所以，且， 所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为， 所以，，则